慣性モーメント

棒

・斜めの場合（棒の重心が回転軸）

長さ，2a，で重心位置を中心に回転する場合，ですが，角度θ，で斜めになっています．

慣性モーメントを求める際には，回転軸からの距離が重要ですので，角度θが影響します（文献によって角度θの場所が異なりますので注意）

回転軸からの距離は，

\( \Large \displaystyle x \ cos \theta \hspace{32pt} ( -a \leq x \leq a) \)

となるので，積分範囲は-aからaと変わりませんが，棒の各点の回転軸からの距離が異なります．

ここでは，断面，太さを考えませんので，質量M，の場合，線密度ρとの関係は，

\( \Large \displaystyle M = 2a \ \rho \)

となります．

回転中心を線の重心，ｘ座標でいうと０，とすると，慣性モーメントは，

\( \Large \displaystyle J = \int_{-a}^a (x \ cos \theta)^2 \rho \ dx = \rho cos^2 \theta \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-a}^a = \rho \cos^2 \theta \frac{2}{3} a^3
= \frac{M}{2a} \cos^2 \theta \frac{2}{3} a^3 = \boldsymbol{\frac{1}{3} Ma^2 \cos^2 \theta }\)

となります．

θ=０，の場合，\( \Large \displaystyle J = \boldsymbol{\frac{1}{3} Ma^2 }\)，となり，前ページの結果と一致します．

θ=π/2，の場合，J=0，となります．これは棒の太さを０として考えているからです．

・斜めの場合（棒の端が回転軸）

上と同じ条件，長さ，2a，ですが，棒の端が回転軸の場合を考えていきます．積分範囲が異なり，

\( \Large \displaystyle J = \int_{0}^{2a} (x \ cos \theta)^2 \rho \ dx = \rho cos^2 \theta \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}a = \rho \cos^2 \theta \frac{8}{3} a^3
= \frac{M}{2a} \cos^2 \theta \frac{8}{3} a^3 = \boldsymbol{\frac{4}{3} Ma^2 \cos^2 \theta }\)

となり，前ページの結果と一致します

後に述べる，平行軸の定理，を使えば，回転軸と重心との距離は，a，となりますので，

\( \Large \displaystyle J = \frac{1}{3} Ma^2 \cos^2 \theta + Ma^2 \cos^2 \theta= \boldsymbol{\frac{4}{3} Ma^2 \cos^2 \theta}\)

と一致します．

次ページは，円板の慣性モーメント，を検討していきます．